Классический метод Рунге – Кутты

Классический метод Рунге–Кутты 4-го порядка (RK4) – самый известный явный метод Рунге–Кутты. Он имеет:

  • порядок точности p=4
  • число стадий s=4
  • явную схему
  • область устойчивости конечного размера
  • хорошую устойчивость для не жёстких задач

Для задачи Коши:

y' = f(t,y), \:\:\: y(t_0) = y_0

(1.1)

при шаге h вычисляются четыре промежуточных наклона:

k_1, \: k_2, \: k_3, \: k_4

(1.2)

После чего берётся их взвешенная комбинация.

Смысл метода:

  • k_1 – наклон в начале шага
  • k_2 – наклон в середине шага
  • k_3 – уточнённый наклон в середине
  • k_4 – наклон в конце шага

Итог:

  • средняя комбинация аппроксимирует интеграл по шагу с ошибкой O(h^5)

Формулы метода

\begin{aligned} k_1 & = f(t_n,y_n), \\ k_2 & = f(t_n+\frac{h}{2}, \:\: y_n+\frac{h}{2}k_1), \\ k_3 & = f(t_n+\frac{h}{2}, \:\: y_n+\frac{h}{2}k_2), \\ k_4 & = f(t_n+h, \:\: y_n+hk_3). \\ \end{aligned}

(1.3)

Вычисление значения на следующем шаге:

\begin{aligned} y_{n+1} & = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 +2k_3 + k4). \\ \end{aligned}

(1.4)

Таблица Батчера

\left.\begin{matrix} 0 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 \\ \hline \, \end{matrix}\right| \begin{matrix} \: \\ 1/2 \\ 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 \\ \hline 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6 \\ \end{matrix}\:\:\:\:\:\rightarrow\:\:\:\:\: \begin{matrix} \textbf{c} & \vline & \textbf{A} \\ \hline \, & \vline & \textbf{b}^T \end{matrix}

(1.5)

Функция устойчивости

\begin{aligned} R(z) & = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24}. \\ \end{aligned}

(1.6)

Динамические характеристики

Как мы говорили ранее, Динамической характеристикой \textbf{D} численного метода дискретизации ОДУ называется логарифм натуральный его функции устойчивости:

\textbf{D} = ln\:R(z) .

(1.7)

Так как, в общем случае, z – комплексная величина, то функцию \textbf{D} можно представить в виде комплексной динамической харатреристики и рассматривать вещественную:

\textbf{D}_{R} = Re\:\textbf{D},

(1.8)

и мнимую:

\textbf{D}_{I} = Im\:\textbf{D}

(1.9)

динамические характеристики.

Вещественная характеристика

На следующем рисунке представлена вещественная динамическая характеристика классического метода Рунге-Кутты.

Fig.1. Вещественная динамическая характеристика метода Рунге-Кутты ( \textbf{D}_{R} ).

Если представить z в виде комплексного числа z = \mu + i\nu , то координатная ось, отрисованная синим цветом, будет вещественной, а ось, отрисованная зеленым – будет отражать мнимую координату точки z .

Ось, представленная красным цветом, показывает величину \textbf{D}_{R} .

Клавишей <P> (на клавиатуре) можно переключать перспективный и ортогональный режимы камеры, а колесом мыши – отдалять или приближать изображение.

Идеальная вещественная динамическая характеристика представляет собой плоскость, которой принадлежит мнимая ось Im(z) = \nu , и повернутая на 45 градусов вокруг оси Im(z) = \nu .

Фактически, отклонение вещественной динамической характеристики \textbf{D}_{R} от идеальной, представляет собой амплитудную погрешность численного метода (см. Рис. 3.1).

Мнимая характеристика

Мнимая динамическая характеристика классического метода Рунге-Кутты представлена на рис.2:

Fig.2. Мнимая динамическая характеристика метода Рунге-Кутты ( \textbf{D}_{I} ).

Идеальной мнимой динамической характеристикой является плоскость, которой принадлежит вещественная ось Re(z) = \mu , и повернутая на 45 градусов вокруг оси Re(z) = \mu .

Фактически, отклонение мнимой динамической характеристики \textbf{D}_{I} от идеальной, представляет собой частотную погрешность численного метода (см. Рис. 3.1).

Области динамической согласованности

На рис.3 представлена область (зеленый контур), внутри которой относительные погрешности метода не превыщают одного процента. Вычислить границы данной области легко по формулам (3.25) и (3.25), представленными выше Определения 2 динамической теории погрешностей численных методов.

Fig.3. Область динамической согласованности метода Рунге-Кутты.

Кроме того, на рис.3 представлена область устойчивости метода Рунге-Кутты (контур цвета морской волны) и области, гарантированно содержащие нули функции устойчивости метода (красные контуры).